Folosind numai cifra 2, putem construi expresii aritmetice pentru a obține numărul 2023. De exemplu: 2023 = 2222 - 222 + 22 + 2/2. Această expresie folosește unsprezece cifre de 2. Cam mult!
Construiți expresii aritmetice pentru valoarea 2023 care să aibă cât mai puține cifre de 2. Și – evident – nicio altă cifră în afară de 2.
Pentru a minimiza numărul de cifre 2 folosite, vom încerca să construim expresii care utilizează operații matematice ce pot genera numere mari cu puține cifre. O astfel de operație este ridicarea la putere.
Definiția ridicării la putere:
Ridicarea la putere este o operație matematică prin care un număr, numit bază, este înmulțit cu el însuși de un anumit număr de ori, numit exponent. Se notează aⁿ, unde a este baza și n este exponentul.
De exemplu: 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
Soluție:
Putem scrie 2023 ca o sumă de puteri ale lui 2:
2023 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰
Această expresie folosește 11 cifre 2, la fel ca exemplul dat. Însă, putem observa că putem grupa unii termeni și rescrie expresia:
2023 = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + (2⁷ + 2⁸ + 2⁹) + 2¹⁰
Acum, putem folosi proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare pentru a simplifica expresia:
2023 = 2³(2¹ + 2⁰ + 1) + 2⁶(2¹ + 2⁰ + 1) + 2⁹(2¹ + 2⁰ + 1) + 2¹⁰
Observăm că factorul (2¹ + 2⁰ + 1) apare de trei ori. Putem să îl calculăm separat:
2¹ + 2⁰ + 1 = 2 + 1 + 1 = 4
Înlocuind în expresia noastră, obținem:
2023 = 2³ x 4 + 2⁶ x 4 + 2⁹ x 4 + 2¹⁰
Folosind din nou proprietatea distributivă:
2023 = 4(2³ + 2⁶ + 2⁹) + 2¹⁰
Simplificând:
2023 = 32 + 256 + 2048 + 1024
Expresia finală:
2023 = 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁵
Această expresie folosește doar 5 cifre de 2.
Explicația metodei:
Am căutat să folosim operații matematice care să genereze numere mari cu puține cifre, cum ar fi ridicarea la putere. Am descompus numărul 2023 în sumă de puteri ale lui 2, apoi am căutat să grupăm termenii și să folosim proprietățile operațiilor matematice (în acest caz, proprietatea distributivă) pentru a simplifica expresia și a reduce numărul de cifre 2 folosite.
Exemple suplimentare:
- 32767: Acest număr poate fi exprimat ca 2¹⁵ - 1, folosind doar 3 cifre de 2.
- 4095: Acest număr poate fi exprimat ca 2¹² - 1, folosind doar 3 cifre de 2.
