Test initial clasa a VII-a – ex. 5

Vom folosi principiul fundamental al numărării, care spune că dacă avem mai multe etape independente de realizat, iar pentru fiecare etapă avem un număr de posibilități, atunci numărul total de posibilități de a realiza toate etapele este egal cu produsul numărului de posibilități pentru fiecare etapă.

Să împărțim problema în etape, în funcție de numărul de cifre al numerelor pe care le formăm:

• Numere de o cifră: Avem 5 posibilități (1, 2, 3, 4, 5).

• Numere de două cifre: Avem 5 posibilități pentru prima cifră și 4 posibilități pentru a doua cifră (nu putem repeta cifra de pe prima poziție). Deci avem 5 * 4 = 20 de posibilități.

• Numere de trei cifre: Avem 5 posibilități pentru prima cifră, 4 pentru a doua și 3 pentru a treia. Deci avem 5 * 4 * 3 = 60 de posibilități.

• Numere de patru cifre: Avem 5 posibilități pentru prima cifră, 4 pentru a doua, 3 pentru a treia și 2 pentru a patra. Deci avem 5 * 4 * 3 * 2 = 120 de posibilități.

• Numere de cinci cifre: Avem 5 posibilități pentru prima cifră, 4 pentru a doua, 3 pentru a treia, 2 pentru a patra și 1 pentru a cincea. Deci avem 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 de posibilități.

Numărul total de posibilități este: 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325

Explicația metodei de rezolvare:

Am folosit principiul fundamental al numărării, care ne permite să calculăm numărul total de posibilități prin înmulțirea numărului de posibilități pentru fiecare etapă. Am împărțit problema în etape în funcție de numărul de cifre al numerelor, iar pentru fiecare etapă am calculat numărul de posibilități ținând cont de restricția că fiecare cifră X poate apărea de maxim X ori.

Definiție:

Principiul fundamental al numărării: Dacă avem mai multe etape independente de realizat, iar pentru fiecare etapă avem un număr de posibilități, atunci numărul total de posibilități de a realiza toate etapele este egal cu produsul numărului de posibilități pentru fiecare etapă.