Enunțul problemei:
Renii lui Moș Crăciun au un adăpost în formă de paralelogram ABCD, având m(∠ABC) = 120°, BC = 14 m și AD ⊥ BD. Câți metri de gard sunt necesari pentru împrejmuirea adăpostului?
Înțelegerea problemei: Trebuie să aflăm perimetrul paralelogramului, adică lungimea totală a laturilor sale.
Definirea formulei perimetrului paralelogramului:
Perimetrul (P) unui paralelogram este egal cu dublul sumei lungimilor a două laturi alăturate:
P = 2 * (AB + BC)Calcularea lungimii laturii AB:
- Triunghiul ABD este dreptunghic în D (AD ⊥ BD).
- Unghiul ∠ABD este suplementar cu ∠ABC, deci m(∠ABD) = 180° – 120° = 60°.
- Triunghiul ABD este dreptunghic și are un unghi de 60°, deci este un triunghi dreptunghic special (30-60-90).
- Într-un triunghi dreptunghic 30-60-90, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Așadar, AD = BC / 2 = 14 m / 2 = 7 m.
- Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ABD: AB² = AD² + BD²
- Nu cunoaștem BD, dar putem folosi faptul că diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc. Fie O punctul de intersecție al diagonalelor. Atunci, BO = BD / 2.
- În triunghiul dreptunghic ABO, aplicăm din nou teorema lui Pitagora: AB² = AO² + BO²
- AO = AD = 7 m (diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc)
- AB² = 7² + (BD / 2)²
- AB² = 49 + BD² / 4
- Înlocuim BD² / 4 din prima relație (AB² = 49 + BD² / 4): AB² = 49 + (AB² – 49)
- AB² = AB²
- Această relație este adevărată, dar nu ne ajută să aflăm AB.
O altă abordare pentru a afla AB:
- Unghiul ∠BAD este suplementar cu ∠ABC, deci m(∠BAD) = 180° – 120° = 60°.
- Triunghiul BAD este isoscel (AD = AB, deoarece laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente).
- Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente. Deci, m(∠ABD) = m(∠ADB) = 60°.
- Triunghiul BAD este echilateral (toate unghiurile au 60°).
- Așadar, AB = AD = BC = 14 m.
Calcularea perimetrului:
- P = 2 * (AB + BC) = 2 * (14 m + 14 m) = 2 * 28 m = 56 m
Răspuns: Sunt necesari 56 de metri de gard pentru împrejmuirea adăpostului.
Exerciții de verificare:
- Un paralelogram are laturile de 10 cm și 15 cm. Calculați perimetrul său.
- Un paralelogram are perimetrul de 48 cm și o latură de 12 cm. Aflați lungimea celeilalte laturi.
