Demonstrație:
Definiții:
- Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de intersecție al medianelor triunghiului.
- Mediana unui triunghi este segmentul de dreaptă care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
- Două triunghiuri sunt congruente (≡) dacă au laturile și unghiurile corespondente congruente.
Proprietăți:
- Centrul de greutate al unui triunghi împarte fiecare mediană în două segmente, astfel încât segmentul care unește centrul de greutate cu vârful triunghiului este de două ori mai lung decât segmentul care unește centrul de greutate cu mijlocul laturii opuse.
Deoarece G1 și G2 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor LMN și XYZ, rezultă că:
- LG1 = 2 * MG1
- XG2 = 2 * YG2
Din ipoteză, știm că △LMG1 ≡ △XYG2. Prin urmare:
- LM = XY
- LG1 = XG2
- ∠MLG1 = ∠XYG2
Din relațiile (1) și (2), rezultă că:
- MG1 = YG2
Deoarece MG1 și YG2 sunt mediane în triunghiurile LMN și XYZ, rezultă că:
- LN = 2 * MG1
- XZ = 2 * YG2
Din relațiile (3) și (4), rezultă că:
- LN = XZ
Din relațiile (2) și (5), și folosind cazul de congruență LUL (Latură-Unghi-Latură), rezultă că:
- △LMN ≡ △XYZ
Explicația metodei de rezolvare:
Am folosit definițiile și proprietățile centrului de greutate și ale congruenței triunghiurilor pentru a demonstra că triunghiurile LMN și XYZ sunt congruente. Am utilizat informațiile date în ipoteză și am aplicat raționamente logice pentru a ajunge la concluzia dorită.
